FONForum

Ranije nisam vezbao zadatke iz analitichke, pa sam se eto setio da provezbam malo i tu oblast... samo, zaboravio sam puno stvari...

dakle, zanima me:
1) kako prebaciti iz opshteg u parametarski oblik jednachinu ravni?
2) isto i za pravu, samo (jel beshe) iz kanoskog u parametarski??

pogubio sam obrasce pa sada ne mogu da pohvatm shta je shta

_________________
Chuvajte i odrzavajte FF. Ne zbog nas matorih, vec zbog vas koji ste sada tu i zbog onih koji ce tek doci.

Postovanje mladji kolega
sve sto treba iz matematike ja pomazem koliko mogu.Dakle,ne postoji parametarski oblik jednacine ravni.Iz opsteg analitickog oblika mozes da prebacis u opsti vektorski(to ti u 99% slucajeva ne treba),zatim u segmentni(ili kanonicni kako se jos u literaturi zove) ili normalni.A sto se tice jednacine prave ako je data u kanonicnom obliku,njen oblik je sledeci
(x-x0)/m=(y-yo)/n=(z-z0)/p { jednacina prave s }
Dakle tacka sa koordinatama (x0,y0,z0) pripada gore definisanoj pravoj s,a njen pravac je paralelan pravcu vektora koji je odredjen sa projekcijama (m,n,.p).Iz ovog oblika prelazimo u parametarski na sledeci nacin:
(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=t
odakle dobijamo
x=x0+mt
y=y0+nt
z=z0+pt
Ovo su parametarske jednacine prave s.
Najcesce se ovaj oblik koristi za nalazenje prodorne tacke date prave na neku ravan.Nadam se da ti je sada jasnije.Ako treba bilo kakva pomoc tu sam.
Pozdrav Mister Pi

meni bi trebala pomoc....
kada se rade ekstremumi pa imamo zadatu funkciju,da izracunamo ekstremume na skupu tom i tom,epa kako se odatle nadju kriticne tacke?
nemogu da nadjem nikakvu logiku znaci da postoji neka fora?

_________________
Icosì trapassa del'età mia la miglior' parte...

ajde dajte konkretan zadatak koleginice pa cu uraditi i objasniti sve vezano za ovu vrstu zadatka.Koliko sam razumeo rec je o odredjivanju maximalne i minimalne vrednosti neke funkcije(i to f-ije dve promenljive na nekoj zadatoj oblasti).Jedina i glavna caka u zadatku je da se pravilno nacrta oblast koja je data,a dalje se problem svodi na ispitivanje f-ije jedne promenljive.Evo javljam se predvece i sa mojim nekim uradjenim primerom koji je bio na nekim proslim rokovima na kojem cu objasniti sve.Ako ima neko bilo sta nejasno iz mate tu je za sve vas
MISTER PI

hvala kolega na objasnjenju, ali da li bi mogao na kontretnom primeru korak po korak da objasnish
pr.1:
pravu p {x+y+2z-2=0; 2x-3y-z+1=0}
prebaciti u drugi oblik...

pr.2:
ravan :2x+2y+2z+2=0
prebaciti u drugi oblik

_________________
Chuvajte i odrzavajte FF. Ne zbog nas matorih, vec zbog vas koji ste sada tu i zbog onih koji ce tek doci.

pr 1:
data prava je data u preseku dve ravni,dakle ravni
x+y+2z-2=0 i 2x-3y-z+1=0.Normalni vektor prve ravni je N1(1,1,2) a normalni vektor druge ravni je N2(2,-3,-1).Pravac prave p koje data u zadatku paralelan je pravcu vektora koji se dobija kao vektorski proizvod normalnih vektora dveje datih ravni.Dakle p=N1*N2(gde je * oznaka za vektorski proizvod)
Kad ovo izmnozis dobijes da je p=5i+5j-5k gde su i,j,k jedinicni vektori koordinatnih osa.Ovaj pravac je isti kao i pravac p1=i+j-k(skratio sa 5).
Da bi odredio bilo koji oblik prave moram da znam jednu tacku koja pripada datoj pravoj.Kako to da uradim?Pa resicu sistem od dve jednacine sa tri nepoznate tj,da bih tacka pripadala ravni ona mora da pripada i prvoj i drugoj ravni sa pocetka zadatka.Dakle,uzecu proizvoljno da je z=1 pa imam sistem
x+y+2z-2=0
2x-3y-z+1=0
pa je
x+y=0
2x-3y=0
odakle se nalazi da je x=0 i y=0.
Dakle tacka sa koordinatama (0,0,1) pripada obema ravnima a samim tim i pravoj p.
Kanonicni oblik jednacine ravni p je sada po formuli
x/1=y/1=(z-1)/-1.Nadam se da je ovo ok i da me pratis
parametarski oblik
x/1=y/1=(z-1)/-1=t pa imamo
x=t
y=t
z=-t+1
Primer 2:
ravan 2x+2y+2z+2=0
ovo je analiticki oblik jednacine ravni.
idemo prvo u segmentni
2x+2y+2z=-2 podelim sve sa -2 pa imam
(x/-1)+(y/-1)+(z/-1)=1
ovi odsecci -1,-1,-1 su odsecci koje data ravan odseca na koordinatnim osama Ox,Oy i Oz,Dakle sece x,y,z osu u tackama (-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1) respektivno.
sto se tice normalnog oblika on izgleda ovako
- (2x+2y+2z+2)/(2^2+2^2+2^2)^(1/2)=0
u zagradi su projekcije na kvadrat pa na kraju koren iz toga.Ne znam kako odavde mogu da kucam prave oznake iz mate i da li moze.
S tim sto moram da ti napomenem da je opsta formula
(ax+by+cz+d)/(a^2+b^2+z^2)^(1/2)=0
i da ispred stoji znak + ili - a stavlja se ono sto je suprotno od znaka d.
dakle za tvoj primer je d=2 pa je pozitivno pa je zato stavljen jedan minus ,da te to ne buni
Eto toliko nadam se da sam ti pomogao
Pozdrav MISTER Pi

epa da bas to,pa neznam jedan od takvih zadataka je odrediti min i max funkcije
f(x,y)=x^2+y^2-xy-x-y na skupu x>=o,y>=0,x+y<=3

koristila sam ove tvoje oznake nadam se da ces razumeti!znaci treba mi samo kako da odresim stacionarne i kriticne tacke....dalje znam!

_________________
Icosì trapassa del'età mia la miglior' parte...

Hvala ti... Jesi, poprilichno

_________________
Chuvajte i odrzavajte FF. Ne zbog nas matorih, vec zbog vas koji ste sada tu i zbog onih koji ce tek doci.

Sto se tice stacionarnih tacaka to je prilicno lako odrediti ako znas da radis parcijalne izvode f-je (po x i po y ).
tacke:
1.Definisanost f-je
2. Prvi izvod
F'x
F'y (dakle, ovde radis parcijalne izvode gore date f-je )
F'z ... (tako sto onu drugu prom. posmatras kao const.)
3. Stacionarne tacke (tacke u kojima je prvi izvod nula )
F'x=0 F'y=0 F'z=0
(ovih tacaka moze biti jedna ili vise i nazivaju se stacionarne )
M1(x1,y1,z1)
M2(x2,y2,z2)
...
Mn(xn,yn,zn)
4. Odredjivanje prirode ekstrema:
kod f-je 2 promenljive
F''xx = r
F''yy = t (drugi izvodi f-je, gde je F''xy izvod funkcije F'y po x )
F''xy = s
5. Trougao (u daljem tekstu /\ )
Izracunavanje trougla /\ = r*t - s^2 u tacki M(x0,y0,z0)
Ako je :
/\ > 0 a r>0 onda je u pitanju minimum f-je
/\ > 0 a r<0 maksimum f-je
/\ = 0 potrebna su dodatna ispitivanja (ovo slobodno ovako ostavi )
/\ < 0 tacka M nije tacka lokalnog ekstrema
To je sto se tice stacionarnih tacaka, slicno se radi kada je u pitanju f-ja 3 promenljive ( u tom slucaju se ne racuna trougao nego postoji matrica po kojoj se odredjuje priroda ekstrema )


A1 = F''xx

A2 = | F''xx F''xy | (ako si obratila paznju ovo je onaj trougao /\
| F''yx F''yy | od malopre F''xx*F''yy - F''xy*F''yx - r*t-s^2)

| F''xx F''xy F''xz |
A3= | F''yx F''yy F''yz |
| F''zx F''zy F''zz |

Kada odredis ove matrice onda imas :

Ako je A1>0 A2>0 A3>0 u tacki M(x0,y0,z0) onda je tacka M tacka lokalnog minimuma f-je, odnosno,
ako je A1<0 A2>0 i A3<0 onda je tacka M tacka lokalnog maksimuma f-je,
u svim ostalim slucajevima nije tacka lokalnog ekstrema.

U slucaju kada se javi i uslov, ili dva pravi se takozvana Lagrangeo-va jednacina (f-ja) koja ima oblik

F= F(x,y..,) + a(uslov izjednacen sa nulom ) + b(uslov izjed. sa nulom )
gde su a i b tzv. Lagrange-ovi multiplikatori.Da ne duzim, ako te i ovo zanima objasnicu ti.

Sto se tice kriticnih tacaka oblasti, najtezi deo je odrediti koje su to tacke.F-ja definisana na oblasti moze imati ekstremume u stacionarnim tackama ( gore objasnjeno odredj. ) i u tim kriticnim tackama oblasti.Potrebno je da znas da nacrtas oblast koja ti je zadana u zadatku.A potom sve tacke koje se nalaze na granicama te oblasti ( recimo u pitanju je trougao ), znaci imaces 3 tacke ( temena trougla ), pretpostavi kako je kod kvadrata,romba,pravougaonika, kruga...

Nadam se da sam bar malo pomogao, i da nije bilo predugacko i mnogo konfuzno...Ako te jos nesto interesuje pisi sasayu1983@gmail.com
POZDRAV....

1.Odrediti stacionarne tacke f-ije.Dakle naci parcijalne izvode po x i y i to izjednmaciti sa nulom i resiti tako dobijen sistem.
f`x=2x-y-1=0
f`y=2y-x-1=0
(f`x-parcijalni izvod f-ije f po x)
resavanjem ovog sistema dobijamo tacku M sa koordinatama M(1,1).
E,sad treba proveriti da li se ova tacka nalazi u oblasti koja je data u uslovu zadatka.
Trazena oblast se nalazi izmedju prava x=0,y=0 i y=-x+3.Dakle to je oblast trougla cije su temena sledece tacke O(0,0),A(3,0) i B(0,3).Mislim da ovo nije nikakav problem i da kapiras kako je odredjena i nacrtana oblast.
Sada se lako uocava da tacka M(1,1) pripada unutrasnjoj oblasti trougla OAB pa cu tacku M oznaciti kao kriticnu tacku.
Ostale kriticne tacke se nalaze na obodu oblasti.Dakle,kao prvo tacke O,A I B su takodje kriticne tacke.Zasto?Objasnicu kasnije pa ce ti biti skroz jasno.
Sada treba ispitati ponasanje f-ije na obodu trougla.Idemo redom.
Na delu trougla OA
ovde je y=0 a x se krece od 0 do 3.
Nasa f-ija f(x,y)=f(x,0)=x^2+0^2-x*0-x-0=x^2-x=g(x)
dakle na OA nasa fija f(x,y) se ponasa isto kao i f-ija g(x),dakle kao f-ija jedne promenljive.Treba naci prvi izvod f-ije g(x) i to je
g`(x)=2x-1.
g`(x)=0->x=1/2.Ovo je stacionarna tacka f-ije g(x) a posto se tacka P(1/2,0) nalazi na delu OA ja cu je uzeti kao kriticnu tacku.
Na delu trougla OB je slicna prica
ovde je x=0 a y se krece od 0 do 3.
F-ija f(x,y)=f(0,y)=y^2-y=z(y)
dakle f-ija f(x,y) se na OB ponasa kao f-ija jedne promenljive z(y)
z`(y)=2y-1=0->y=1/2 pa se tacka Q(0.1/2) uzima kao kriticna tacka jer se nalazi na OB
I na kraju na delu AB imamo vezu y=-x+3 pa je
f(x,y)=x^2+(-x+3)^2-x(-x+3)-x-(-x+3)=3x^2-9x-6=g(x) dakle ponovo se moja f-ija f(x,y) ponasa kao f-ija jedne promenljive g(x)
g`(x)=6x-9=0->x=3/2 odakle je y=-3/2+3=3/2.Dakle tacka R(3/2,3/2) je kriticna tacka jer se nalazi na AB.Konacno sada imamo kriticne tacke
M(1,1),O(0,0),A(3,0),B(0,3),P(1/2,0),Q(0,1/2) i R(3/2,3/2) i treba izracunati vrednost f-ije f(x,y) u svim ovim tackama
u tacki O
f(0,0)=0
u tacki M
f(1,1)=-1
u tacki A
f(3,0)=6
u tacki B
f(0,3)=6
u tacki P
f(1/2,0)=-1/4
u tacki Q
f(0,1/2)=-1/4
u tacki R
f(3/2,3/2)=-3/4
Sada se jasno vidi da je najveca vrednost f-ije u tackama A i B i iznosi Fmax=6 a najmanja vrednost f-ije je u tacki M i Fmin=-1
Nadam se da nisam nigde pogresio i to bi trebalo da je to i da ti je sada jasno kako se bilo koji zadatak ove vrste radi.
Uopsteno na proizvoljnom delu neke oblasti izmedju dve tacke AB gde se f-ija od dve promenljive svodi na f-ije od jedne promenljive mene interesuju samo krajnje tacke tog dela one su kriticne tacke i eventualno stacionarne tacke te f-ije na tom delu ako ih ima i onda ih uzimam kao kriticne tacke.Unasem primeru su to bile tacke P,Q i R
Pozdrav